+ Yorum Gönder
Gizliyara Güncel Konu Arşivi ve Ders Notları Forumunda Geometrinin temel elemanları olan noktalar Konusunu Okuyorsunuz..
  1. Ziyaretçi

    Geometrinin temel elemanları olan noktalar








    Geometrinin temel elemanları olan noktalar







  2. HAKAN
    Özel Üye





    Kısaca Geometrinin temel elemanları olan noktalar

    Nokta: Kalemin kağıttaki izi, tebeşirin tahtadaki izi, küçük bir kum tanesi, toz şeker zerreciği gibi birşey olarak anlatılmalıdır.

    Doğru: Doğru cetvel yardımıyla sıkça koyduğumuz noktalardan oluşan bir nokta kümesi olarak ve şekildeki aşamalar öğrencilerle birlikte yaşanarak gösterilebilir. Her iki uçtan sonsuza gittiği belirtilmelidir.

    Düzlem: Düzlem anlatılırken öğrencilerin dikkati, masanın yüzü, kağıdın yüzü, cam yüzeyi, durgun su yüzeyi üzerine çekilir ve bunların her taraftan sonsuz olması hali düşünülür.

    Uzay: Uzayı anlatmak için toz şeker, tuz veya kum dolu bir kavanozdan yararlanılabilir. Her kum taneciği bir nokta gibi düşünülürse noktaların uzayı nasıl doldurdu- ğu anlaşılır. Daha sonra bu kavanoz her taraftan sonsuz olarak düşünülmelidir.





  3. Zühre
    Devamlı Üye
    Geometrinin Temelleri

    Geometri; matematiğin bir koludur. Her şeyi çizgi, yüzey ve hacim olarak ele alır, şekillerini, özelliklerini inceler, ölçümlerini gösterir.

    Geometride, noktanın hiçbir boyutu yoktur. Çizginin sadece uzunluğu vardır, kalınlığı, genişliği yoktur. Bir yüzeyin ise sadece genişliği, uzunluğu vardır, kalınlığı yoktur. Cisimlerin ise eni, boyu, kalınlığı vardır.

    Geometri birçok bilim dallarında en büyük yardımcıdır. Mühendisler, mimarlar geometriden faydalanarak yol, bina, köprü vs. yaparlar. Geometriye dayanan usuller sayesinde uçaklar, gemiler yollarını bulur. Astronomlar da çalışmalarında geometriden geniş ölçüde faydalanırlar.

    Geometrinin Temelleri

    Geometri’nin temelleri belitlere (mütearifelere) ve tanımlamalara (tariflere) dayanır.

    Belit. — Belitler, ayrıca ispatına lüzum olmayan, doğru olduğu apaçık görülen gerçeklerdir. Matematikte hüküm yürütebilmek İçin bu gerçekleri mutlaka bilmek gerekir. Bunlardan doğru mudur, yanlış mıdır diye düşünmeden faydalanırız. Yanlış belitler bizi yanlış sonuçlara götürür. Meselâ Kristof Kolomb‘dan önce gemiciler dünyanın düz olduğunu sandıkları için memleketlerinden fazla uzaklaşamıyorlardı. Kolomb‘un dünyanın yuvarlak olduğunu düşünmesi yeni keşiflere yol açtı.

    Bugün hemen herkes Euklides geometrisindeki belitlerin doğruluğuna inanmıştır. Bu Eski Yunanlı matematikçi, tartışmasız kabul edecek temel gerçekleri «belit» ve «konut» (kaziye) diye ayırmıştı. Belitler bütün durumlarda kullanılabilen gerçeklerdi. Meselâ: «Bir şeyin iki yarısı onun bütününe eşittir» sözü bir belirtir.

    Konut. — Konutların da belitler gibi ispat edilmesine lüzum yoktur. Ancak, bunlar belitler gibi genel değildir, daha çok geometriye hastırlar.

    Tanımlama. — Tanımlama da geometri için çok önemli hususlardan biridir. Bir mesele üzerinde yürüttüğümüz fikirlerin doğru olabilmesi için tanımlamaların çok doğru olması gerekir. Bir dörtgenin ne olduğunu bilmezsek, elimizde bunun doğru bir tanımlaması yoksa, bir şeklin dörtgen olup olmadığını ispat edemeyiz.

    Bir fikri tanımlamak (tarif etmek) demek onu bir çember içine alarak çevresinden ayırmak demektir. Bu çember yalnız o fikir için gerekli hususları içine almalıdır. Meselâ: «Karşılıklı kenarlarıyla karşılıklı açıları ayrı ayrı birbirine eşit dörtgenlere paralelkenar denir» tanımlamasına bakalım.

    Burada, paralelkenarın bir dörtgen olduğu söylenmekle her şeyden önce bütün başka şekiller tarif dışı çıkarılmıştır. Yalnız, karşılıklı açılarının eşit olduğunu söylemek paralelkenarı dikdörtgenden, karşılıklı kenarlarının eşit olduğunu söylemek de kareden ayırmıştır. O halde, bu tanımlamaya göre çizilecek bir şekil ancak bir paralelkenar olur.

    Teorem (Dâva). — Doğruluğunu ispata ihtiyaç gösteren matematik bir ifadedir. İspat edilmiyen gerçekler matematikte yer alamazlar. Bunun- için, ispatların geometride büyük yeri vardır.

    Bir teorem «varsayım» ve «yargı» (hüküm) olmak üzere iki kısımdan meydana gelir. Yargı ispat edilmesi gereken şeyin ne olduğunu; «varsayım» ise bu ispata yarayacak şartları anlatır. «Birer kenarlarıyla bu kenarlara komşu açıları eşit olan üçgenler birbirine eşittir» teoreminde son üç kelime yargıdır; teoremin bu yargının ispatına yarayan şartları anlatan ilk kısmı da varsayımdır. Bir teoremi ispat ederken varsayımla yargıyı iyice birbirinden ayırmalı, gerçeği bulabilmek için varsayım şartlarını, gözönünde bulundurmalıdır.

    Bir geometri teoreminin ispatında belitlerle tanımlamalardan, daha önceki teoremlerden, daha başka ispatlanmış teoremlerin bize gösterdiği gerçeklerden faydalanılır. Bunlardan faydalanmadan yapılan ispatların hükmü yoktur.

    Karşıt Teorem. — Bir teoremin yargısı varsayım, varsayımı da yargı yapılınca meydana gelen teoreme «karşıt teorem» denir. Meselâ: «Bir üçgenin bir kenarına çizilen paralel doğru, diğer iki kenarı, orantılı olarak böler» teoreminin karşıtı şöyledir: «Bir doğru, bir üçgenin iki kenarı üzerinde orantılı parçalar ayırırsa, bu doğru üçgenin üçüncü kenarına paraleldir.»

    Yardımcı Teorem. — Bazı teoremlerin ispatı için, bu teoremden önce, onu ispat etmeye yarayacak başka bir “teorem ispatlanır. Buna da «yardımcı teorem» denir.

    Geometrinin Bölümleri

    Geometrinin üç ana kısmı vardır:


    1. — Düzlem Geometri: Bir düzlem içinde bulunan, yani iki boyutu olan şekilleri inceler. Çokgenler, daire düzlem geometrinin sınırları içine girer.

    2. — Tasarı Geometri:
    Uzaydaki şekillerin tasarımını izdüşümlerle gösterir.

    3. — Uzay Geometri: Hacimli, yani uç boyutlu şekillerle uğraşır.

    Geometrinin başka dalları bu ana bölümlerin içinde kalır. Bunların başlıcaları «analitik geometri» ile «trigonometri» dir.

    Geometrinin Gelişmesi

    Geometri’nin çok eski bir tarihi vardır. Eski Mısırlılar çok iyi geometri biliyorlardı. Bugün bile ayakta duran piramitleri yapmak için mimarlık kadar geometri de bilmek şarttı. Ayrıca, bir Mısırlı her yıl taşan Nil nehrinin altında kalan topraklarını komşusununkinden ayırmak için ölçüp biçmek zorundaydı.

    Geometrinin başlangıcı çok eski çağlara rastlar. İlk geometri fikrinin gelişmesinden bu yana tatbiki ve mantıki geometri yan yana bir gelişme geçirmiştir. Zamanımıza kadar ayakta duran büyük piramitleri yapan Eski Mısırlılar’ın geometri bildikleri açık bir gerçektir. Onların geometri bildiğini gösteren başka deliller” de vardır. Nil nehri her yıl taşar, çevresindeki toprakları sular altında bırakırdı. Onun için Nil kıyısında toprağı olanlar her yıl, yeniden ölçüp biçerek, topraklarının sınırını kestirmek zorunda kalırlardı. Böyle bir şey de ancak geometri sayesinde yapılabilir.

    Geometriyi asıl geliştirenler Eski Yunanlılardır. Bu arada, geometri kaidelerini ilk defa ortaya koyan Miletos’lu Thales’tir. Gene geometrinin ilk öncülerinden biri de Pythagoras’tır. M. Ö. VI. yüzyılda yaşayan bu büyük matematikçi bilhassa kendi adiyle anılan teoremiyle tanınmıştır.

    Pyfchagoras’tan sonra birçok Yunanlı bilgin geometrinin gelişmesine yardım etti. Nihayet M. Ö. 300 yıllarında Euklides «Elemanlar» adındaki eserini meydana getirdi. Böylece, modern geometri kurulmuş oluyordu. Zamanımızda bile yeni görüşleri hesaba katmazsak geometrinin bütün ilkeleri Euklides geometrisinin ilkeleri üzerine kurulmuştur.

    Bir başka büyük Yunan matematikçisi de Arkhimides’tir. Kendini tamamen geometriye vermiş bu büyük bilgin, bir geometri problemi üzerinde çalışırken Romalı askerler tarafından öldürülmüştür. Romalılar, Eski Yunanlılar’ın çizdiği yoldan gittiler, yollar, binalar, su kemerleri yaptılar.

    Geometri yüzlerde yıl Euklides’in bıraktığı yerde kaldı. Ancak XVII. yüzyılda Fransız filozofu René Descartes cebiri geometriye soktu, analitik geometriyi kurdu. İngiliz fizikçisi Newton ile Alman bilgini Leibnitz’in de geometri üzerinde önemli çalışmaları oldu.

    Geometride Yeni Görüşler

    Matematikçiler daha XVII. yüzyıldan beri Euklides geometrisinin sayısız birçok problemler çözmeye yarayamıyacağını düşünmeye başlamışlardı. XVII. ve XVIII. yüzyıllarda bu konuda birçok çalışmalar yapıldı. Euklides geometrisi dışındaki ilk başarılı çalışmayı yapan Alman bilgini Karl Friedrich Gauss’tur. İşi daha çok felsefî yönünden ele alan Gauss, Euklides’in paraleller hakkındaki konutunun yanlış olabileceğini ileri sürdü.

    Euklides geometrisi dışındaki geometrinin ilk temellerini XIX. yüzyılda Rus matematikçisi Nikolay Lobaçevskiy attı. Paraleller üzerinde değişik bir görüş ileri sürüyor, bunu ispatlıyordu. Gene aynı yüzyılda Macar bilgini Bolyai Janos da, Lobaçevskiy’inkine benzeyen sonuçlar elde etti. En sonunda Alman matematikçisi Bernhard Riemann konuyu daha derin noktalarına kadar inceledi. Bu bilginin uzayın sınırlı olduğu hakkındaki fikirleri, Einstein’in İzafiyet Teorisi çalışmalarına temel oldu. Bu sayede, astronomi âleminde yeni ufuklar açıldı, geometride de Euklides geometrisi dışı başka sistemler kuruldu.





+ Yorum Gönder