+ Yorum Gönder
Okul ve Eğitim ve Her Telden Eğitim Konuları Forumunda Rasyonel sayılar ve rasyonel sayılarla işlemler Konusunu Okuyorsunuz..
  1. Dr Zeynep
    Bayan Üye

    Rasyonel sayılar ve rasyonel sayılarla işlemler








    Rasyonel sayılar ve rasyonel sayılarla işlemler

    RASYONEL SAYILAR
    a ve b birer tamsayı b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise a/b şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel Sayı denir. Yani denk kesirlerin belirttiği sayıdır. Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir. Buradan Rasyonel Sayılar Kümesini
    Q = {x: x=a/b; a b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }
    şeklinde gösterebiliriz. Örneğin
    1/5 2/3 4 8/5 -1/2 -6/5 0 .
    sayıları birer rasyonel sayıdır.

    Rasyonel sayılar ve rasyonel sayılarla.jpg

    Bazı Özellikler:
    Her doğal sayı bir tamsayıdır.
    Her tamsayı bir rasyonel sayıdır. Çünkü tamsayıların paydası vardır ve 1' dir.
    a/b = c/b ise a=c dir.
    a/b=c/d ise a.d=b.c dir.
    a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise a=c ve b=d dir.


    RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER

    1. TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:

    Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için paydaların eşit olması gerekir. Şayet paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir. Ortak payda payda olarak alınırken toplama işleminde payların toplamı paya çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır. Bu kuralı aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:



    Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi -a/b dir yani ters işaretlisidir.

    Örnekler:



    2. ÇARPMA İŞLEMİ

    Rasyonel iki sayının çarpımı payların çarpımı paya paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır. Yani

    şeklinde yapılmalıdır. İşaret kuralı tamsayılardaki gibidir. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi b/a dır. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi
    (a/b)-1 = b/a
    şeklinde gösterilir.

    Örnekler:


    3. BÖLME İŞLEMİ

    Rasyonel iki sayının bölümü ilk sayı aynen yazılır ikinci sayı ters çevrilip çarpılır. Yani ilk sayı ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. Bölme işleminin genel kuralı

    şeklindedir. Burada b c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir. Çünkü sıfıra bölme tanımsızdır. Diğer taraftan sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü sıfırdır. İşaret kuralı çarpma işlemindeki gibidir.

    Örnekler:




    Karışık Örnekler:

    Örnek 1:

    olduğuna göre

    toplamının a cinsinden değeri nedir?

    Çözüm:
    Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak

    olur. Yani a+b=12 bulunur. Buradan b=12-a çıkar.







    Örnek 2:

    sayısı

    sayısının kaç katıdır?

    Çözüm:
    Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için bölme işlemi yapılmalıdır. Bu takdirde


    Örnek 3:

    olduğuna göre a kaçtır?

    Çözüm:
    Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden

    yazabiliriz. Buradan a/10 = 10-5 a/10 = 5 a= 10.5 a=50 bulunur.

    Örnek 4:


    Çözüm:

    yazılabilir. Buradan
    4x + 5 = x2
    x2-4x -5 = 0
    Çarpımları -5 toplamları -4 olan iki sayı -5 ile +1 olduğundan
    (x-5).(x+1) = 0
    yazabiliriz. Böylece
    x=5 ile x=-1 bulunur. Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından x = 5 olmalıdır.

    Not: 5 4' ün 1 fazlası olduğundan sonuç 5 çıkmıştır. 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı sonuç 9 olacaktı. 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak şayet b a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise bu işlemin sonucu b olur.

    Örnek 5:

    işleminin sonucu yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?
    a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

    Çözüm:
    Verilen işlem sonsuzlu işlem olduğundan 3' ün paydasına x dersek işlemin tamamı da x olur. Dolayısıyla

    yazabiliriz. Buradan 4x -3 = x2 x2 -4x +3 = 0 olur. Bu denklem de (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden x=3 ile x=1 bulunur. Dolayısıyla doğru seçenek (b) şıkkıdır.

    Not: işleminde (a/2)2 = b ise bu işlemin sonucu a/2 dir.

    Örnek 6:


    Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür.


    RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI :

    Pozitif Rasyonel Sayıların Sıralanması:

    1) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların payı büyük (küçük) olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür (küçüktür).

    Örnek:
    7/5 ile 3/5 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

    Çözüm:
    Bu iki rasyonel sayının paydaları eşit olduğundan payı büyük olan daha büyük payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle bu rasyonel sayılar

    şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanabilir.

    2) Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük (büyük) olan daha büyüktür (küçüktür).

    Örnek:
    12/25 ile 12/35 rasyonel sayılarını sıralayınız.

    Çözüm:
    Bu iki rasyonel sayının payları eşit olduğundan paydası küçük olan daha büyük olduğundan

    şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralayabiliriz. Diğer taraftan

    şeklinde büyükten küçüğe doğru da sıralayabiliriz.

    3) Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise
    Şayet rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler payı küçük olan daha küçüktür.
    Şayet rasyonel sayılar bileşik kesir şeklinde iseler payı küçük olan daha büyüktür.

    Örnek:
    12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

    Çözüm:
    12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarının her ikisi de basit kesirdir. Ayrıca her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 5' tir. Dolayısıyla payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle 12/17 rasyonel sayısı 14/19 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani

    şeklinde yazabiliriz.

    Örnek:
    107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

    Çözüm:
    107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarının her ikisi de bileşik kesirdir. Ayrıca her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 2' dir. Dolayısıyla payı küçük olan daha büyüktür. Bu nedenle 359/357 rasyonel sayısı 107/105 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani

    dir.

    4) Rasyonel sayılar ondalık kesre çevrilerek de sıralanabilir.

    Örnek:
    10/11 ile 100/111 kesirlerini sıralayınız.

    Çözüm:
    a=10/11 olsun. O zaman 1/a=11/10=11 olur.
    b=100/111 olsun. O zaman 1/b=111/100=111 olur.
    Dolayısıyla

    dir. Buradan b < a bulunur. Ayrıca a > b şeklinde de yazabiliriz.

    5) Rasyonel sayılar tamsayılardan daha yoğundur. Bu nedenle iki rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı vardır. Buna rasyonel sayılar sıktır ya da yoğundur denir. Bundan dolayı rasyonel sayılarda ardışıklıktan söz edilemez. İki rasyonel sayının arasında yer alan bir başka rasyonel sayı şöyle bulunabilir:
    a/b ile c/d birer rasyonel sayı ve a/b < c/d ise bu iki rasyonel sayı arasında yer alan başka bir rasyonel sayı

    şeklinde bulunabilir.

    Örnek:
    1/2 ile 3/5 rasyonel sayıları arasındaki rasyonel sayıyı bulunuz.

    Çözüm:

    bulunur. Dolayısıyla

    yazabiliriz.

    6) İki rasyonel sayı arasında yer alan rasyonel sayıları bulmak için bu iki rasyonel sayının paydaları eşitlenir.

    Örnek:
    Aşağıdakilerden hangisi 1/6 ile 2/5 arasında yer almaz?
    a) 7/30 b) 9/30 c) 10/30 d) 11/30 e) 13/30

    Çözüm:
    1/6 ile 2/5 kesirlerinin paydaları 30' a eşitlenirse 1/6=5/30 ve 2/5=12/30 olur. Dolayısıyla 5/30 ile 12/30 arasındaki rasyonel sayılar
    6/30 7/30 8/30 9/30 10/30 11/30
    dir. Buna göre 13/30 rasyonel sayısı bu ikisi arasında bulunmaz. Doğru seçenek (e) şıkkıdır.

    Negatif Rasyonel Sayıların Sıralanması:

    Rasyonel sayılar önce işaretsiz (pozitif) olarak sıralanır. Sonra da ters sıralama yapılarak negatif değerlerin sıralaması elde edilir. Çünkü sıralama sembollerinin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılırsa sıralama sembolü yön değiştirir.

    Örnek:
    a = -1/3 ve b = -2/7 ise a ile b' yi sıralayınız.

    Çözüm:
    a ile b negatif rasyonel sayılar olduğundan işaretsiz olarak ele almalıyız. Yani 1/3 ile 2/7 sayılarını göz önüne alalım. Bu iki kesrin paylarını eşitleyelim. Bu takdirde 1/3 = 2/6 olur ve 2/7 sayısı ile birlikte göz önüne alınırsa payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan daha büyük olduğundan 2/6 sayısı 2/7 sayısından daha büyüktür. Böylece

    olur. Rasyonel sayıların işaretlerini negatif alıp eşitsizliğin yönünü değiştirirsek

    buluruz. Dolayısıyla a < b dir.

    Örnek:
    x < 0 olmak üzere a = x/3 ve b = x/7 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

    Çözüm:
    Şayet x > 0 olsaydı

    olacaktı. x < 0 olduğu için

    olur.

    Örnek:

    ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
    a) 1 < x < 3 b) 1/2 < x < 5/2 c) 22/3 < x < 26 d) 4 < x < 26/3
    e) 22/3 < x < 12








  2. Dr Zeynep
    Bayan Üye





    Çözüm:
    Verilen sıralamanın her üç tarafını da 4 ile çarparsak

    olur ve sonra da sıralamanın her üç tarafına da 6 sayısını eklersek sıralamada herhangi bir değişiklik olmayacağından

    22/3 < x < 26
    bulunur. Doğru seçenek (c) şıkkıdır.

    Örnek:
    a=10/11 b=100/111 c=1000/1111
    olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangsi doğrudur? (ÖSS-1999 iptal sın.)
    a) c < b < a b) c < a < b c) a < b < c d) a < c < b e) b < c < a

    Çözüm:
    a=10/11=1/11
    b=100/111= 1/111
    c=1000/1111=1/1111
    payları eşit olan kesirlerin paydası en büyük olan daha küçük olduğundan
    a > b > c olur. Doğru seçenek (a) şıkkıdır.

    Örnek:
    a > 0 b > 0 c > 0 ve

    olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (ÖSS-1992)
    a) a < c < b b) a < b < c c) b < a < c d) b < c < a e) c < b < a

    Çözüm:
    a b ve c pozitif sayılar olduğundan

    yazabiliriz. Buradan a=5 b=15 ve c=10 olur. Böylece a < c < b bulunur. Doğru seçenek (a) dır.

    Örnek:
    a=7/8 b=10/11 c=13/5
    sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
    a) a < c < b b) a < b < c c) b < c < a d) c < b < a e) c < a < b

    Çözüm:
    a ile b kesri basit bir kesirken c bileşik kesirdir. Bu nedenle c bileşik kesri en büyüktür. O halde a ile b yi incelemeliyiz.


    Buradan a < b bulunur. Böylece a < b < c elde edilir. Doğru seçenek (b) dir.

    Örnek:

    olduğuna göre a b c sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisindeki sayılar olabilir?
    a) 6/45 11/45 12/45
    b) 4/27 6/27 7/27
    c) 5/36 6/36 7/36
    d) 2/18 5/18 6/18
    e) 7/54 9/54 15/54

    Çözüm:
    Bu tür sorularda seçeneklerden gidilmelidir. Kesirlerin paydaları seçeneklerin paydalarına eşit olacak şekilde genişletilmelidir.

    a) Bu şıkta paydalar 5 ile genişletilmiştir. O halde 5 ile genişletirsek
    5/45 < a < b < c < 10/45
    olur. Burada b ve c yer almaz. Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz.

    b) Bu şıkta paydalar 3 ile genişletilmiştir. O halde 3 ile genişletirsek
    3/27 < a < b < c < 6/27
    olur. Burada da b ile c bu aralıkta yer almaz. Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz.

    c) Bu şıkta paydalar 4 ile genişletilmiştir. O halde 4 ile genişletirsek
    4/36 < a < b < c < 8/36
    olur. Burada a b ve c bu aralıkta yer alır. Dolayısıyla doğru seçenek bu seçenektir.

    d) ve e) seçenekleri yukarıdaki nedenlerle doğru seçenek olamaz.

    RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER

    KESİR

    a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir. Burada a' ya kesrin payı b' ye de kesrin paydası denir. Bir başka deyişle kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve birkaçını gösteren sayıdır. Kesrin paydası bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken kesrin payı da bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösterir. Örneğin 2/5 kesri bir bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder.

    DENK KESİRLER

    a b c d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere a/b ile c/d birer kesir ve a.d = b.c ise a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir. Örneğin 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:
    3/5 6/10 9/15 12/20 15/25 . 3m/5m .
    Burada m sıfırdan farklı bir tamsayıdır. Bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse kesrin değeri değişmez. Bir kesrin payı ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa buna kesrin genişletilmesi denir. Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:

    Şayet bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile bölünürse buna da kesrin sadeleştirilmesi denir. Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz:


    BAYAĞI KESİR
    a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklindeki ifadelere bayağı kesir denir. Bayağı kesirler üçe ayrılır:

    1. Basit Kesirler:
    Payı paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin
    2/3 3/5 4/7 1/2 9/10 1/3 2/7 10/15 .
    şeklindeki bayağı kesirlerin tümü basit kesirdir. Bununla birlikte payı 1 olan basit kesirlere birim kesirler denir. Burada 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için birim kesirlerdir.

    2. Bileşik Kesirler:
    Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin
    3/2 5/3 7/4 2 10/9 3 7/2 15/10 12/12 .
    şeklindeki bayağı kesirlerin tümü bileşik kesirdir. Çünkü bu kesirlerin tümünün payı paydasından büyüktür.

    3. Tamsayılı Kesirler:
    a b c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere

    şeklinde gösterilen kesirlerdir. Yani tamsayılı kesirler sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir. Örneğin

    kesri tamsayılı bir kesirdir. Buradan bir tamsayılı kesrin bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz. Aynı şekilde bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz. Bileşik bir kesri tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı paydasına bölünür bölüm tam kısmını kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır. Örneğin 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım. 11 5' e bölünürse bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan

    şeklinde yazabiliriz.
    Not: Kesirler eksili (negatif) de olabilirler.

    Örnek:

    kesrinin basit bir kesir olabilmesi için x kaç tane değer alır?

    Çözüm:
    Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için payının paydasından küçük olması gerekir. Dolayısıyla 2x - 3 < 12 olması gerekir. x' i yalnız bırakabilmek için 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak
    2x < 12 + 3
    2x < 15
    x < 15/2
    bulunur. x doğal sayı olduğuna göre 15/2' den küçük doğal sayılar
    x = {0 1 2 3 4 5 6 7}
    dir. Bu nedenle x bu 8 tane değeri alırsa kesir basit kesir olur.



    1990 – 2000 YILLARI ARASINDA ÖSS / ÖYS’DE RASYONEL SAYILARLA İLGİLİ SORULAN SORULAR :

    1) 00034 Kesri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
    017

    A)
    1
    B) 1 C) 1 D) 1 E) 1
    100 50 20 10 2

    00034 = 34 = 2 = 1
    0 begin_of_the_skype_highlighting 17 1700 100 50end_of_the_skype_highlighting


    2) X pozitif bir ondalık sayıdır. x + 1 Bir tamsayı olduğuna göre x’in virgülden sonraki kısmı nedir?
    40

    A)
    …975 B) …075 C) …125 D) …250 E) 025


    x + 1 = 1 olsun
    40

    x = 1 - 1 = 1 – 0025 = 0975‘ tir.
    40


    3) 3 - 1 < a < b < c 2 Olduğuna göre abc sayıları sırasıyla aşağıdakilerin hangisindeki sayılar olabilir?
    9 9

    A)
    6 11 12 B) 4 6 12
    C) 4 6 12
    45 45 45 27 27 45 27 27 45



    D)
    2 5 6 E) 7 9 15
    18 18 18 54 54 54



    1 < a < b < c 2
    9 9

    4 < b < c 8 ise a= 5 b= 6 c= 7 dır.
    36 36 36 36 36

    Diğer şıklarda verilen sayıların 1 2 aralarında olmadığı benzer şekilde görülür.
    9 9

    4) 2345 rakamlarından ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı pay; öteki ikisinden oluşturulan iki basamaklı sayı da payda olmak üzere elde edilebilecek kesirlerden en büyüğünün yaklaşık değeri nedir?

    A) 234 B) 214 C) 196 D) 172 E) 148

    Şartlara uygun en büyük sayı; payı en büyük ve paydası en küçük olan sayıdır. Buna gör sayı 54 = 234 ‘ tür.
    23

    5) 5 - 01 + 004 + 2 İşleminin sonucu nedit?
    001 002 02

    A) 4 B) 7 C) 15 D) 22 E) 41

    01 + 004 = 2 = 10 + 4 + 20 = 10 + 2 + 10 = 22’dir.
    001 002 02 1 2 2 17 1700 100 50





  3. Nesrin
    Devamlı Üye
    Rasyonel sayılarda işlemler yapılırken dikkat edilmesi gereken bir çok temel kurallar vardır. bunlar şu şekildedir. rasyonel sayılarda toplama veya çıkarma işlemleri yapılırken öncelikle paydaların eşit omasına dikkat edilmeli eğer eşit değiller ise o zaman eşitlemeleri gerekir. bunun dışı da işlem önceliğine de dikkat edilmelidir.




+ Yorum Gönder


rasyonel sayılar,  rasyonel denklemler