+ Yorum Gönder
Her Telden Eğitim Konuları ve Ödev ve Tezler Forumunda Fonksiyon Çeşitleri Nedir Konusunu Okuyorsunuz..
  1. Ziyaretçi

    Fonksiyon Çeşitleri Nedir








    Fonksiyon Çeşitleri nedir







  2. Dilan
    Devamlı Üye





    Fonksiyon Çeşitleri hakkında bilgi


    1. İçine fonksiyon :
    Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok ) ise bu tür fonksiyonlara denir.

    Örnek 8 :



    2. Örten fonksiyon :
    Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesine eşit ( değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var ) ise bu tür fonksiyonlara denir.
    Örnek 9 :



    3. Bire-bir (1-1) fonksiyon :
    Eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu tür fonksiyonlara denir.
    Örnek 10 :



    4. Sabit fonksiyon :
    Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
    Örnek 11 :



    5. Birim fonksiyon :
    Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
    Örnek 12:



    Örnek 13 : Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ?
    Çözüm : y = x doğrusu olan birinci açıortay doğrusu hem 1-1 ; hem örten hem de birim fonksiyondur.

    Örnek 14: Aşağıdaki fonksiyon ne tür bir fonksiyondur ?



    Çözüm : Görüntü kümesinin (- ,-4) arasındaki değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olmadığı için içine fonksiyondur.
    x eksenine paralel çizilen bazı doğrular grafiği kesmiyorsa içine fonksiyondur.

    Örnek 15: Aşağıdaki f : R  [-4, ) ne tür bir fonksiyondur ?



    Çözüm : Görüntü kümesinin tüm değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olduğu için örten fonksiyondur.

    Örnek 16: Aşağıdaki f : R  R ne tür bir fonksiyondur ?



    Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı yine kendisine eşit olduğundan birim fonksiyondur. Aynı zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.

    Örnek 17 : Aşağıdaki f : R  R ne tür bir fonksiyondur ?



    Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı hep aynı olduğundan sabit fonksiyondur.

    Örnek 18 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1-1 fonksiyondur ?



    Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek noktada kesiyorsa 1-1 ; aksi takdirde 1-1 değildir. Bu nedenle ilk grafik 1-1 olmamasına karşılık ikinci grafik 1-1 ‘ dir.
    s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere :
    1. A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ;

    2. A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ;

    3. A’dan B’ye tanımlanan 1-1 fonksiyon sayısı P(b,a).

    Örnek 19 : A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye tanımlanabilen 1-1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ?
    Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduğuna göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 43 olduğundan dolayı s(A) = 3’tür.

    Buna göre 1-1 fonksiyon sayısı da olur.

    Örnek 20 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane yansıyan bağıntı tanımlanabilir ?
    Çözüm : 27 = 33 olduğuna göre s(A) = 3 ‘ tür.
    Yansıyan bağıntı sayısı ise 29-3 = 26 = 64 olur.

    Örnek 21 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir ?
    Çözüm : olduğuna göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit fonksiyon sayısı 6 olur.


    6. Permütasyon fonksiyonu:
    Sonlu bir A kümesi üzerinde A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permütasyon fonksiyonu denir.

    Örnek 22 :



    s(A) = a olmak üzere :
    A’dan A’ye tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayısı a ! ‘ dir.

    Örnek 23 : A kümesi üzerinde 24 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre 1-1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı kaç tanedir ?
    Çözüm : 24 = 4! olduğundan s(A) =4 ‘ tür.
    Dolayısıyla toplam fonksiyon sayısı 44 = 256 olur.
    Bunların da 24 tanesi 1-1 ve örten olduğundan
    geri kalan 256-24 = 232 tanesi 1-1 ve örten değildir.

    Örnek 24 : A kümesi üzerinde 6 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre A kümesi üzerinde tanımlanabilen bağıntıların kaç tanesi yansıyan değildir ?
    Çözüm : 6 = 3! olduğundan s(A) = 3 ‘ tür.
    Dolayısıyla toplam bağıntı sayısı 29 olup bunların 26 tanesi yansıyandır. Geriye kalan 29 - 26 =512-64 tanesi yansıyan değildir.

    Örnek 25 : Aşağıda grafiği verilen f : A  B fonksiyonunu permütasyon fonksiyonu formunda yazalım .



    Çözüm : f (1) = 3 ;
    f (2) = 1 ;
    f (3) = 2 olduğundan f fonksiyonu

    şeklinde yazılabilir.

    7. Tek ve çift fonksiyonlar :

    Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;

    f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.

    Diğer bir deyişle

    başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ;

    y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.

    Örnek 26: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?

    Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3

    = -sinx -3x +x3

    = -(sinx +3x -x3)

    = -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.

    Örnek 27: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?

    Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)

    = x2 + 4 -cosx

    = f(x) olduğundan çift fonksiyondur.

    Örnek 28: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ?

    Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3

    = x2 - x3 -3 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur.

    Örnek 29: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?

    Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0

    olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir.

    Diğer bir deyişle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni

    hem başlangıç noktası hem de y eksenine göre simetriktir.

    Örnek 30: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduğuna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz.

    Çözüm : Çift fonksiyon olduğundan f(x) = f(-x) olur.

    Dolayısıyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacağından f(x) = x+2 olur.



    8. Periyodik fonksiyonlar:

    Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir.

    Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.

    Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda

    f(x+t) = f(x) ==> ( x+t ) - x = t olur.

    Örnek 31: f (x) = g ( 2x+3 ) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?

    Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır.

    Dolayısı ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve

    ( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalıdır

    ( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5 )

    buradan t = 5/2 bulunur.

    f (x) fonksiyonunun periyodu t ise

    f (ax+b) fonksiyonunun periyodu olur.

    Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduğuna göre

    g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik.

    f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1 , t2 ) olur. Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.

    Örnek 32 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3,

    g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise

    h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ?

    Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 olduğundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.

    9. Trigonometrik fonksiyonlardan

    sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2 ;

    tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise  ‘dir.

    Örnek 33 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?

    Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu ve

    sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu olduğundan

    f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan  ‘ dir.

    FONKSİYONLARIN TOPLAMI, FARKI, ÇARPIMI, BÖLÜMÜ:

    f (x) ve g (x) fonksiyonları için

    h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;

    h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;

    h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;

    h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.

    Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan

    birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi

    f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.

    Örnek 36 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = {-1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {-1,2,3,4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz.

    Çözüm : Tanım kümesi = A B = {-1,2,3} olur.

    h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 olduğundan

    h (-1) = -3

    h ( 2) = 12

    h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3,12,17} şeklinde bulunur.



    Örnek 37 : f : A B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve

    g : C D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduğuna göre

    h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz .

    Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5f (x) diye düşünülebilir.

    h (1) = 5f (1) = 10 ;

    h (2) = 5f (2) = 15 ;

    h (3) = 5f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10,15,20} olarak bulunur





  3. Buğlem
    Devamlı Üye
    Bir kümenin her elemanını ikinci bir cümlenin yalnız bir elemanıyla eşleyen bir bağıntı. Birinci cümleye tarif cümlesi, ikinci cümleye değer cümlesi denir. Genellikle bu elemanlar sayılardan oluşurlar.




+ Yorum Gönder