+ Yorum Gönder
Her Telden Eğitim Konuları ve Ödev ve Tezler Forumunda Polinomların Özellikleri Hakkında Bilgi Konusunu Okuyorsunuz..
  1. Ziyaretçi

    Polinomların Özellikleri Hakkında Bilgi








    Polinomların Özellikleri kısaca







  2. Ebru
    Devamlı Üye





    Polinomların Özellikleri Nelerdir


    a0, a1, a2, .an-1, an Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + . + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.



    1. an xn, an-1 xn-1, ., ak xk, .., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.

    2. an, an-1, ., ak, ., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.

    3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.

    4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.

    5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

    P(x) = anxn + an-1xn-1 + . + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

    P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.

    6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir.


    Örnek:

    P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?

    Çözüm:

    5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.

    3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 ³0 den n ³2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu

    P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4

    P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

    ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

    P(x, y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

    Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.

    der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.

    Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.

    Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

    Örnek

    P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

    Çözüm:

    2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6

    -3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8

    x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5

    -y5 teriminin derecesi 5

    Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

    Örnek

    P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise

    P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?


    Çözüm:

    P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2

    = 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.

    P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2 bulunur.

    P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2

    = 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

    SIFIR POLİNOMU

    P(X) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,

    an = an-1 = = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

    Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

    Örnek

    P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

    Çözüm

    P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

    m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;

    m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.

    SABİT POLİNOM

    P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = = a1 = 0 ve a0 ¹0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

    0xn + 0xn-1 + + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.

    x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

    Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.


    Çözüm

    P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.



    İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

    Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

    n. dereceden,

    A(x) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + a0 ve

    B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;

    A(x) = B(x) Û an = bn, an-1 = bn-1, , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.


    Örnek

    A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,

    polinomları veriliyor.

    A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

    Çözüm

    POLİNOM FONKSİYONLARI

    P : R ®R

    x ®P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

    P : R ®R

    x ®P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

    Örnek

    P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

    Çözüm

    P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.

    P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1

    = x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2

    P(x-1) = x2 olarak bulunur.

    II: Yol:

    Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.

    P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

    Örnek

    P(x) polinomu için,

    P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.


    Çözüm

    P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde

    H = x + 2 Ş h –2 = x’i yerine yazalım.

    P(h – 2 + 2) = (h – 2)3– 2(h – 2)2 + 4

    P(h) = (h – 2)3– 2(h – 2)2 + 4

    P(x) = (x – 2)3– 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

    POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI


    P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

    P(1) = an + an-1 + + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.

    P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

    Örnek

    P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

    Çözüm

    P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.

    P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1

    = 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.





+ Yorum Gönder