+ Yorum Gönder
Öğrenci odası ve Soru (lar) ile Cevap (lar) Forumunda İspat yöntemlerini anlatırmısınız Konusunu Okuyorsunuz..
  1. Ziyaretçi

    İspat yöntemlerini anlatırmısınız








    ispat yöntemlerini anlatırmısınız







  2. Dr Zeynep
    Bayan Üye





    ispat yöntemlerini anlatırmısınız

    ispat yöntemlerini anlatırmısınız hakkın bilgi

    Doğrudan İspat :
    Örnek : Bir tek ve bir çift tamsayının toplamı tektir.
    İspat : Önce m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım. Açıklamada da belitildiği gibi bunlardan birinin tek, diğerinin çift olduğunu kabul ederek, toplamlarının tek olduğunu göstereceğiz. Mesela m tek ve n de çift olsun. m+n nin tek olduğunu göstereceğiz. m tek ve n de çift olduğundan;
    m = 2a + 1
    n = 2b
    olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları vardır. Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift sayıları 2b şeklinde yazabiliriz. Bizden m+n isteniyordu.
    m + n = 2a + 1 + 2b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1
    olur. a ve b tamsayı olduğundan a + b de bir tamsayıdır ve a + b ye k gibi bir tamsayı dersek;
    m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur.
    Yani m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir. Öyleyse m + n tek sayı olmalıdır. İspat tamamlanır.

    .:: 2 - Ters Durum İspatı :
    Örnek : Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir.
    İspat : Burada P dediğimiz olay sayımızın karesinin çift olması, Q dediğimiz olay da bu sayının kendisinin çift olması yani;
    P = a sayısının karesi çifttir.
    Q = a sayısının kendisi çifttir.
    (hatırlatma : bize verilen kabuller P olarak, istenen ise Q olarak kabul edilir). İlk ispat tekniğimizde P ise Q yu gösteriyorduk ve o teknikle bunu ispatlamanın güç olacağına deyinmiştik. Öyleyse şimdiki ispat tekniği ile yani Q değil ise P nin de olamayacağını gösterelim. Bunu söz ile ifade etmek istersek, bizim göstereceğimiz "Eğer a sayısı tek ise karesi de tektir." Bu ispat tekniğinde dikkat edilmesi gereken nokta bu Q değil ise P nin olmayacağını doğru olarak ifade etmektedir. Özetleyecek olursak; bu ispat tekniğinde "a nın karesi çift ise a da çifttir" ifadesini göstermek yerine "a tek ise karesi de tektir" ifadesini göstereceğiz. Şimdi bunu görelim. a yı tek kabul ettiğimizden, öyle bir k tamsayısı için a yı;
    a = 2k + 1 oarak yazabiliriz.
    a nın karesinin tek olduğunu göreceğiz. Karesini alırsak;
    a2 = 4k2 + 4k + 1 = 4(k2 + k) + 1 olur.
    ve k2 + k bir tamsayı olacağından buna m dersek;
    a2 = 4(k2 + k) + 1 = 4m + 1 = 2.2m + 1
    2m ifadesine de t dersek;
    a2 = 2t +1 olur.
    Bu da bize a2 nin tek olduğunu gösterir. Öyleyse a sayısı eğer tek ise karesinin de mutlaka tek olması gerektiğini gösterdiğimizden, karesi çift ise sayının kendisinin de çift olması gerektiğini söyleyebiliriz. Bu yöntemle önermeyi ilk yönteme göre çok daha kolaylıkla ispatlamış oluyoruz.

    :: 3 - Olmayana Ergi (Çelişkiyle ispat) Tekniği :
    Örnek : Kendi kenisiyle toplandığında kendisini veren sayı sıfırdır.
    İspat : Bir x sayısını ele alalım. Önermede bizden x+x=x ise x=0 olduğunu göstermemiz isteniyor. Bu teknik ile ispatı göstermeye çalışalım. Hükmü (veya bazı durumlarda hükmün bir parçasını) olumsuz olarak alalım. Yani kabul edelim ki, x sıfırdan farklı bir sayı olsun. Bu durumda x+x ifadesine bakalım. Önermede bize x+x in x olduğu verilmişti. Yani x+x=x denilmişti. Ayrıca biz biliyoruz ki x+x=2x tir. Öyleyse bu eşitlikleri birleştirerek;
    x = 2x elde ederiz. x i sıfırdan farklı kabul ettiğimizden dolayı taraf tarafa x leri sadeleştirirsek (x in sıfırdan farklı olduğunu kabul etmeseydik bu sadeleştirmeyi yapamazdık).
    1 = 2 sonucu elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişki x i sıfırdan farklı almamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse x=0 olmalıdır. Sonuç olarak x=0 olması gerektiğinden ispat tamamlanmış oldu.
    Bu önermeden de görüldüğü gibi hükmü olumsuz kabul ederek bize verilen hipotezi kullanıp bir çelişkiye vardık. Bu çelişkinin sebebi de hükmü olumsuz kabul etmemizdir. Tabi bu önermede x in sıfır olması gerektiği kolaylıkla görülebiliyor ancak tekniği anlayabilmek açısından böyle bir önerme seçtim.

    .:: 4 - Tümevarım İle İspat Tekniği :

    Örnek : 1 + 3 + 5 + + 2n-1 biçimindeki sayıların toplamının n=1,2,3,4,5, tamsayılarının herbiri için n2 olduğunu gösteriniz.
    İspat : Tümevarım tekniği ile ispatı yapılabilen toplam serileri üzerine iyi bilinen örneklerden biridir. Tekniğe göre ilk adım olarak "1" için önermenin doğruluğunu görelim;
    n=1 için : n=1 için bakacak olursak serinin toplamı 1 olacaktır. Sonuçta
    1 = 12 olduğundan n=1 için önerme doğrudur.
    n=k için önerme doğru olsun : Yani 1 + 3 + 5 + + 2k-1 = k2 olsun.
    n=k+1 için : n=k+1 için önermenin doğru olduğunu göstermek için;
    1 + 3 + 5 + + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermeliyiz. Burada eşitliğin sol tarafındaki en son terimden bir önceki terim de yazılacak olursa;
    1 + 3 + 5 + + 2k-1 + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermek istiyoruz. Bir önceki adımdaki kabulümüzden dolayı;
    1 + 3 + 5 + + 2k-1 = k2 olduğunu biliyoruz. Bunu yerine yazarsak
    1 + 3 + 5 + + 2k-1 + 2(k+1)-1 = k2 + 2(k+1)-1 olacaktır. Bunun da (k+1)2 ye eşit olduğunu göreceğiz.
    k2 + 2(k+1)-1 = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 dir.
    Böylece önermenin k için doğru olduğunu kabul ederek k+1 için de sağlandığını göstermiş ve genel anlamda ispatlamış oluyoruz.





  3. Suskun Karizma
    Devamlı Üye
    İspat Yöntemleri ve Biçimleri

    İspat Yöntemleri
    Matematik derslerinde kullandığımız ispat yöntemleri şunlardır:

    I. Doğrudan ispat:
    Olmayana-ergi, mantığın iki temel ilkesine dayanır: Çelişmezlik ilkesi (ki, “bir önerme hem yanlış, hem doğru olamaz” der.) Diyelim ki, ispatı istenen P gibi bir önerme var elimizde. Olmayana-ergi yöntemine başvuruyorsak, P’yi yanlış sayar, bu sayıtlının bir çelişki doğurup doğurmadığına bakarız. Yanlış saydığımız P, gerçekte doğru ise, daha önce doğruluğu bilinen ya da varsayılan Q gibi bir başka önermeyi yanlış saymamız gerekecektir. Ne var ki, mantığın çelişmezlik ilkesi gereği Q’yu hem doğru, hem de yanlış sayamayız. Q’yu baştan doğru kabul ettiğimize göre, yadsınması (Q-değil) yanlış demektir. Doğru bir önerme yanlış bir önerme içermeyeceğine göre, P’yi yanlış sayamayız; öyleyse P doğrudur.

    II. Olmayana Ergi İle İspat Yöntemi:
    Bir koşullu önermelerde, (p ⇒ q) ≡ (q' ⇒ p') dür.
    p ⇒ q teoreminin ispatlanması yerine q' ⇒ p' teoremi ispatlanırsa p ⇒ q teoremi
    ispat edilmiş olur. Bu yönteme, olmayana ergi ile ispat yöntemi denir.

    O halde, bir teoremi olmayana ergi ile ispat olumsuzunda hareket edilerek, hipotezin
    olumsuzunun elde edilmesidir.


    III. Deneme Yöntemi ile İspat
    Verilen önermedeki değişkene farklı değerler verilir. Bu değerler, ayrı ayrı yerlerine
    yazılarak önermenin doğruluğu kontrol edilir. Buna deneme yöntemi ile ispat denir.

    IV. Aksine Örnek Verme Yöntemi ile İspat
    Verilen bir önermenin doğru olduğu ispatlanamıyorsa, aksine örnek verilerek, veya
    çelişki olduğu gösterilerek, yanlış olduğu ispatlanır.
    Bu yöntem genellikle p ⇒ q şeklindeki bir önermenin, yanlış olduğunu ispatlamak
    için kullanılır.
    O halde, verilen önermenin doğru olmadığını gösteren en az bir değer varsa, bu
    önermenin yanlış olduğu ispatlanmış olur.

    V. Tüme Varım Yöntemi ile İspat
    Tüme varım yöntemi, özel kurallardan hareket ederek genel kurala ulaşma yöntemidir.
    O halde, bu yöntemde yapılan ispat, parçalardan giderek bütünün doğruluğunu bulmaktır.


    VI. Tümden Gelim Yöntemi ile İspat
    Tümden gelim, genel kuraldan özel kuralların çıkarılması yöntemidir. Bütünden
    giderek istenilenin doğruluğunu ispatlama yöntemidir.





+ Yorum Gönder